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## Puntos y cajas

Puntos y cajas es un juego de lápiz y papel para dos jugadores (a veces más). Fue publicado por primera vez en el siglo 19 por Édouard Lucas, que llamó la pipopipette. Se ha pasado por muchos otros nombres, incluyendo el juego de puntos, cajas, punto a punto cuadrícula y cerdos en un corral.

Comenzando con una cuadrícula vacía de puntos, dos jugadores se turnan para la adición de una sola línea horizontal o vertical entre dos puntos adyacentes no unidas. El jugador que completa el cuarto lado de una caja 1 × 1 gana un punto y toma otro giro. (Un punto normalmente se registra mediante la colocación de una marca que identifica el jugador en la caja, tal como un inicial). El juego termina cuando no hay más líneas se pueden colocar. El ganador es el jugador con más puntos. La junta puede ser de cualquier tamaño. Cuando corto el tiempo, un tablero de 2 × 2 (un cuadrado de 9 puntos) es bueno para los principiantes. A 5 × 5 es bueno para los expertos.

##Estrategia

Para la mayoría de los jugadores novatos, el juego comienza con una fase de puntos de conexión más o menos al azar, donde la única estrategia es evitar la adición de la tercera parte de cualquier caja. Esto continúa hasta que todas las cajas (potenciales) restantes se unen entre sí en cadenas de - grupos de una o más casillas adyacentes en la que cualquier movimiento da todas las cajas en la cadena al oponente. En este punto, los jugadores suelen tener todas las casillas disponibles, a continuación, abra la cadena más pequeña disponible para su oponente. Por ejemplo, un jugador novato enfrenta a una situación como la posición 1 en el diagrama de la derecha, en la que algunas cajas pueden ser capturados, podrá adoptar todas las cajas en la cadena, lo que resulta en la posición 2. Sin embargo, con su último movimiento, se tiene que abrir la siguiente cadena, más grande, y el novato pierde el juego.

Un jugador con más experiencia frente a la posición 1 en lugar será jugar la estrategia de doble cruz, teniendo todos menos 2 de las cajas de la cadena y de abandonar la posición 3. El oponente se llevará a estas dos cajas y luego se verá obligado a abrir la cadena siguiente. En el logro de la posición 3, el jugador A gana. La misma estrategia se aplica doble cruz, no importa cuántas cadenas de largo se encuentran: un jugador que usa esta estrategia se llevará a todos menos dos cajas en cada cadena y tomar todas las cajas en la última cadena. Si las cadenas son lo suficientemente largos, dicho jugador ganará.

El siguiente nivel de complejidad estratégica, entre los expertos que ambos utilizan la estrategia de doble cruz (si se les permitiera a), es una batalla por el control: un jugador experto trata de forzar a su oponente para abrir la primera cadena larga, porque el jugador que se abre por primera vez una cadena larga por lo general pierde. Contra un jugador que no entiende el concepto de sacrificio, el experto simplemente tiene que tomar el número correcto de sacrificios para fomentar el oponente para entregar la primera cadena de tiempo suficiente para asegurar una victoria. Si el otro jugador también sacrifica, el experto tiene que manipular, además, el número de sacrificios disponibles a través del juego anterior.

En la teoría del juego combinatoria, los puntos y las cajas es un juego imparcial y muchas posiciones se pueden analizar utilizando la teoría Sprague-Grundy. Sin embargo, los puntos y las cajas carece de la convención de reproducción normal de los juegos más imparciales (donde el último jugador se mueva victorias), lo que complica considerablemente el análisis.