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鉴于能源扩张和GDP增长之间的1对1的关系，下一个标识必须满足：

（1）（1 +ΔPIB）N = 1 + K

ΔPIB哪里是GDP的年均增长速度，N年考虑和k累计增长速度在同一时期，这一时期的数量。因此，例如，如果估计的能量系统将66％以上的23年地平线扩大，平均这些数据GDP的年增长率可以计算在等式代入相应的值（1）;这就是说：
（2）（1 +ΔPIB）23 = 1.66。

在前面的公式，结果双方联合应用对数的身份：

（3）23 LN（1 +ΔPIB）= LN（1.66）。我这样：

（4）LN（1 +ΔPIB）=（LN（1.66））/ 23。

要清除ΔPIB有必要运用对数函数neperian的倒数，也就是说，欧拉指数，因此：
（5）E 1（LN（1 +ΔPIB））= E ^（（LN（1.66））/ 23）
意味着：
（6）1 +ΔPIB= E ^（（LN（1.5））/ 23），
和后果：
（7）ΔPIB= E ^（（LN（1.66））/ 23） - 1

上述式（7）允许计算在高能生产的扩大的功能的GDP的增长的极限;它适用于任何时间跨度和扩张的目标。